YGS Matematik Oran- Orantı - I

ORAN - ORANTI KONU ANLATIMI

YGS Matematik Temel Kavramlar - 1

YGS Matematik Temel Kavramlar - 1 Konu Anlatımı

Microsoft'un Yeni İşletim Sistemi Windows 8

Ve sonunda Windows 8 indirilmeye hazır. Microsoft'un en yeni işletim sistemini ücretsiz olarak indirmek için tek tıklama yetiyor. İşte detaylar.

Son günlerin gündemden düşmeyen konusu Windows 8'den haberler gelmeye devam ediyor. Eklediği çok sayıda özellik ile kullanıcıların beğenisini kazanan Microsoft, sonunda Windows 8'in indirilebilir sürümünü yayımladı. Basit bir şekilde temel işlevleri gerçekleştirip arayüzü tanıyabileceğiniz işletim sistemi, inceleyen hemen hemen herkesi kendine aşık etmiş durumda.

 Windows 8'i indirmek için buraya tıklayın.

Windows 8 Developer Preview English, 32-bit (x86)

DOWNLOAD (2.8 GB)
Sha 1 hash - 4E0698BBABE01ED27582C9FC16AD21C4422913CC
Includes a disk image file (.iso) to install the Windows 8 Developer Preview and Metro style apps on a 32-bit PC.
Note: This download does not include developer tools. You must download the Windows 8 Developer Preview with developer tools 64-bit (x64) to build Metro style apps.

Windows 8 Developer Preview English, 64-bit (x64)

DOWNLOAD (3.6 GB)
Sha 1 hash – 79DBF235FD49F5C1C8F8C04E24BDE6E1D04DA1E9
Includes a disk image file (.iso) to install the Windows 8 Developer Preview and Metro style apps on a 64-bit PC.
Note: This download does not include developer tools. You must download the Windows 8 Developer Preview with developer tools 64-bit (x64) to build Metro style apps.

MATEMATİĞİN AYDINLIK DÜNYASI BELGESELİ

MATEMATİĞİN AYDINLIK DÜNYASI BELGESELİ

1.Kısım

2. kısım Pi Sayısı

3. Kısım Pi Sayısı , Trihonometri ve Hipercus, Fraktallar (birbirine benzer şekiller),
Nötron Yıldızları ...

Video - Michael Jackson - Hold My Hand

MJ
çocukluğumda severek dinlediğim ve müthiş sesi ile yaratıcı danslarına hayran kaldığım pop müziğin kıralı... ölümüne gerçekten üzüldüğüm nadir Sanatçılardandır.

Michael Jackson - Sevgiyle anıyorum

Hold My Hand Ft. Michael Jackson

(Akon):
Akon And M.J (oh yeah)
(Michael):
Yeah!
This life don't last forever..
(Hold my hand)
So tell me what we're waiting for???
(Hold my hand)
We're better off being together
(Hold my hand)
Being miserable alone
(Hold my hand)
(Together):
Cause I been there before and you've been there before, But together we can be alright. (alright) (yeah)
Cause when it gets dark and when it gets cold we hold Each other till we see the sunlight.
So if you just hold my hand, baby, I promise that I'll do all I can
Things will get better if you just hold my hand
Nothing can come between us if you just hold, hold my, hold, hold my, hold my hand, hold my hand.
Akon:
The nights are gettin' darker (darker)
(Hold my hand)
And there's no peace inside (inside)
(Hold my hand)
So why make our lives harder
(Hold my hand)
By fighting love tonight
(So hold...)
(Together):
Cause I been there before and you've been there before, But together we can be alright. (alright)
Cause when it gets dark and when it gets cold we hold Each other till we see the sunlight. (ooh yeah)
So if you just hold my hand, baby, I promise that I'll do all I can
Things will get better if you just hold my hand (yeah)
Nothing can come between us if you just hold, hold my, hold, hold my, hold my hand, hold my hand.
Bridge:
I can tell that you're tired of being lonely (yeah)
Take my hand don't let go, baby, hold me (yeah)
Come to me and let me be your one and only (hold my hand)
Cause I can make it alright till the morning. (hold my hand)
I can tell that you're tired of being lonely (hold my hand)
Take my hand don't let go, baby, hold me (hold me)
Come to me and let me be your one and only (one and only)
Cause I can make it alright till the morning. (hold my hand)
Hold my hand, (yeah) baby, I promise that I'll do all I can (hold my hand)
Things will get better if you just hold my hand
Nothing can come between us if you just hold, hold my, hold, hold my, hold my hand, hold my hand
Hold my hand, (yeah) baby, (yeah) I promise that I'll do all I can (hold my hand)
Things will get better if you just hold my hand
Nothing can come between us if you just hold, hold my, hold, hold my, hold my hand, hold my hand..

Einstein'ın Beynindeki 3 Önemli Fark

Bilim adamları, 1955′te ölen Einstein’in cesedini yakmışlar, beynini araştırmalar için almışlardı. Yapılan araştırmalarda Einstein’in beyninin 3 önemli farkının olduğu ortaya çıktı.

Elbetteki sizinkinden daha büyük. Fakat farklı bir şekli olduğunu da söyleyebiliriz.

Şüphesiz Albert Einstein’in zekası bütün zamanların en iyilerinden biridir. Bugünlerde bilim adamları, Einstein’in kavramları işlemede sadece eşsiz bir beyin yeteneğine sahip olmadığını aynı zamanda beyninin fiziksel olarak da farklı olduğunu söylüyorlar.

Einstien’in beyin özellikleriyle, benzer yaştaki dört insanın beyin özelliklerini karşılaştıran yeni bir araştırmada yapısal farklılıklar bulundu. Daha önce araştırma yapan bilim adamları, Einstein’in daha fazla beyin hücrelerine sahip olduğunu belirtirken, bu araştırma beyninin diğerlerinden daha büyük olduğunu ortaya çıkardı.

1955’de 76 yaşında ölen bu büyük matematikçi ve fizikçinin beyni, uzun yıllar boyunca araştırmacıların ilgisini çekmiştir. Einstein’in cesedi yakıldı, sadece beyni bilimsel çalışmalar için korunmuştu.

Diğer araştırmacılar Einstien’in beyninin her bir nöronunda çok sayıda glial ( sinir sistemi destek dokusu) hücrelerinin olduğunu ve bu hücrelerin daha çok enerjiye ihtiyacı olduğunu ve enerji kullandığını bulmuşlardı. Bunun sonucu olarak beyin daha geniş çalışma kapasitesine ulaşır. Glial hücrelerinin vazifesi nöronlar için gerekli destek ve korumayı sağlamaktır.

Önceki araştırma, Einstein’in beynindeki nöronların yoğunluğunun daha büyük olduğu ve beyin zarının diğerlerinden daha ince olduğunu göstermişti.

Aynı zamanda Einstein’in, beynin matematik becerisinin olduğu varsayılan bölgede olağandışı bir tarzda oluklar olduğu ve diğer beyinlerden yüzde 15 daha büyük olduğu bulunmuştu. Farklılıkların kombine etkisi, matematiksel alana ait sinir hücreleri arasındaki bağlantıların daha iyi olmasına yol açmış olabilirdi.
Bu hafta yayınlanan en son araştırmaya ABD ve Arjantin’den bilim adamları katıldılar.
Araştırmacılar, “Einstein’in astrositik (merkezi sinir sistemindeki yıldız şekilli glial hücre) çıkıntılarının tabakalar arası terminal kitlelerinin boyutlarının daha büyük ve sayısının daha çok olduğunu” belirtiyorlar.  Bu farklılıkları tam olarak neyin etkilediği tam olarak belli değil. Araştırmacılar, bulduklarının basit bir yaşlanmanın işareti de olabileceğini hatırlatıyorlar.

Bununla birlikte araştırmacılar, Einstien’in beyninin benzersiz olamayabileceğini ve diğer insanlarında benzer beyne sahip olabileceğini, ancak hiçbir zaman aynı derecede kullanamayacaklarını belirtiyorlar:
“Belki de ‘özel’ beyin ve zekaya sahip birey sayısı sanılandan da fazla. Bunlar; sosyo-kültürel şartlar, hastalıklar sebebiyle beynin bu kapasitesinin pasifleşmesi, gebelik döneminde bebeğin risk altında olması, veya çocuğun büyüdüğü ortamın yetersiz olması sebebiyle görülemeyebilir.”
Araştırmacılar, beynin tek başına zeka derecesinin bir göstergesi olarak görülmemesi gerektiğini söylüyorlar. “Yoğun sosyal içerikli beyin ve zekaya sahip türler, örneğin insanlar, çoklu genetik ve çevresel faktörlere bağlı olarak bireyin özel yeteneğinin gelişebileceğini” belirtiyorlar.
Farklılıklar
1 – Önceki araştırmacılara göre, Einstein’in beyin zarı daha ince ve aynı yaştaki birisine kıyasla yüzde 15 daha büyüktü. Aynı zamanda glial olarak adlandırılan sinir doku hücre sayısı, ortalamadan daha fazla bulunmaktaydı.
2 – Einstein’in beyin dokusu daha büyük boyutta ve nodüller ( terminal kitleler) daha fazla sayıdadır. Böyle olması, onun beynini tam olarak nasıl etkilediği tam olarak bilinmiyor. Belki de bu, yaşlanmanın bir belirtisi de olabilir.
3 – Einstein’deki nodül miktarı başka insanlarda da bulunabilir. Hatta, benzer beyne de sahip olabilirler. Ancak, potansiyelleri ortaya çıkarma şansına sahip olamayabilirler.

YGS MATEMATİK - OBEB - OKEK SORU TARZLARI

26.09 2011  Mustafa BARDAK , YGS Matematik Ders Notları ve Pratik Çözümler...

Matlab'da Kompleks Sayılar

Herkese Merhabalar,

  Şimdi diyeceksiniz ki ne gerek var böyle şeylere, ancak demeyin öyle! İlerleyen zamanlarda göreceğimiz teorileri anlayabilmek ve simule edebilmek için kompleks sayılar ve matrisleri kısaca hatırlayacağız. Bu yazımda kompleks sayılar ve Matlab da ilgili fonksiyonlar üzerinde duracağım. Matrisler ise bir sonraki konu...

   Hepimizin bildiği gibi matematikte i karakteri kök içinde -1 e eşittir. Ancak bu yazımda  i yerine daha çok j yi kullanacağım. Aslında bu j başka bir değerle çarpıldığında (vektörle çarpıldığında) saat yönünün tersinde 90 derece dönmesine sebep olur. Aşağıdaki şekil üzerinden anlamaya çalışalım. 

Şekilde görüldüğü gibi A vektörü x ekseninin pozitif kısmında bulunmaktadır. A vektörünü her j ile çarpışımızda saat yönünün tersinde 90 derece dönmektedir. Hatırlayacağınız gibi x eksenine reel kısım, y eksenine ise imajiner kısım diyoruz. Bu durumda eğer A=a+jb şeklinde bir vektörümüz olursa a=Re{A} ve b=Im{A} olacaktır. Kompleks sayılar üzerinde toplama ve çıkarma yaparken reel kısımlar ve imajiner kısımlar birbirleriyle toplanır veya çıkarılır, yani reel kısımlarla imajiner kısımlar arasında işlem yapılmaz. Aşağıdaki şekilde bu durum gösterilmiştir.

Kompleks sayılar çarpılırken ise dağılma özelliği esas alınır.

Bir kompleks sayının hatırlayacağınız üzere birde eşleniği bulunmaktadır.

a

+jb şeklinde bir kompleks sayının eşleniği

a-jb şeklindedir. Matlabda eşlenik almak için conj() fonksiyonunu kullanırız.

 Eşleniği alınan bir kompleks sayının reel kısmının yönü sabit kalıp, imajiner kısmı 180 derece ters döner. Kompleks sayılar için bölme işleminde ise paydada ki kompleks değerin eşleniği alınır ve hem pay hemde payda bu değer ile çarpılır. A=a+jb kompleks sayısını, B=c+jd sayısına bölme işlemi aşağıda ki gibidir.

Şimdi gelelim kompleks sayıların üstsel(eksponansiyel) ve polar formda gösterimlerine. Aşağıdaki şekilde ki gösterime hatırlayacağınız gibi Euler açılımı diyoruz. 

 Eğer bu kompleks sayıları C ile gösterdiğimiz bir sabitle çarparsak şu şekli alır;

Yukarıda ki eşitlik bir kompleks sayıyı temsil etsin ve bu sayıya a+jb diyelim. Bu durumda

 şeklinde olacaktır. Bu durumda a = Ccosθ ve b = Csinθ olacaktır. Reel ve imajiner kısımdaki sayıların karelerini alır ve toplarsak

bu kompleks sayının genliğini bulmuş oluruz. b yi a ya oranladığımızda ise  

kompleks sayımızın açısını elde ederiz. Sonuç olarak diktörtgensel formdan üstsel forma geçiş için;

üstsel formdan dikdörtgensel forma geçmek için;

eşitliklerini kullanırız. Polar formda gösterim biçimi ise;

şeklindedir. Ayrıca unutulmaması gereken bir nokta ise açıyı hesaplarken her zaman pozitif x eksenini referans olarak alırız. 

   

Şimdi bir örnekle bu öğrendiklerimizi Matlab da nasıl uygulayabiliriz onu anlamaya çalışalım. y=-1+j2 kompleks sayısını reel ve imajiner eksende ifade edersek aşağıdaki şekilde ki gibi bir sonuç elde ederiz.

Burada kök 5 değeri y vektörünün genlik değerini gösterirken 116.6 derece ise x ekseninin pozitif kısmı referans alınması durumunda açısını gösterir.  Matlab da bir komplek sayının genliğini bulmak için abs() açısını bulmak için angle() fonksiyonunu kullanırız. Burada unutulmaması gereken Matlab ın angle() fonksiyonu ile hesapladığı değer derece değil radyan cinsindendir. Dolayısıyla sonucu derece cinsinden görmek için angle(y)*180/pi şeklinde kullanmalıdır. Aşağıda Matlab örneği gösterilmiştir.

Matlab'ta Faktöriyel Hesaplama Sınırı ...

% Matlab'da Faktöriyel Sorunu ...
% Matlab Faktöriyelleri 170! e kadar hesaplayabilir.
% 172! in değerini buldurmak için , Yeni bir algoritma geliştirelim .

% ÖRNEĞİN : C(n,r) = n!/ (n-r)!.r! olduğuna göre
% C(178 , 175) i hesaplamaya çalışalım.

% I. Yöntem   178!/175!.3! i hesaplatmak
% II. Yöntem  farklı bir algoritma yazmak.

clear all,close all,clc;
n=input('Bir sayi giriniz:');
sonuc=1;
if n==0
    sonuc=1;
elseif n<0
    disp('Negatif sayi girdiniz');
else
   for k=1:n
       sonuc=sonuc*k;  %/* 171! sonuç vermez */
   end
   format long;
   fprintf('%d' ,n);
  fprintf('Faktöriyelin Değeri %d \n',sonuc);
 
end
% Bunu fonksiyona çevirebiliriz
%function fac(x)=f(n);



 % Program / algoritma 2 
 % burada n ve r değerleri 171 den büyük seçilse de sonuç verir.
  cnr=1;
  n=178 ;
  r=175;
  for k=1:r;
      cnr=cnr*(n-k+1)/k;
  end
  cnr

  % Bazı Matlab komutları ls , cd , who , whos , sms - sembolik işlem
  % yaptırmak için

ÖZ-DE-BİR 8. Sınıf SBS Çözümleri

ÖZ-DE-BİR 8. Sınıf Türkiye Geneli SBS Matematik Soru Çözümleri 

21 OCAK 2011

                                                                                 Tüm Çözümler için Tıklayınız ...

MATLAB ile fonksiyon yazma

Matlab'da fonksiyonlar ayrı bir dosyadan çağrılabileceği gibi , fonksiyonlar da m-dosyalarıdır. Farklı olarak bir fonksiyonun ilk satırı söyle olmalıdır:

function [sonuc1, sonuc2, ..., sonucm] = 

fonksiyonmbardak(arg1, arg2,...,argn)

Fonksiyonun adı dosya adı ile aynı olmalıdır. Örnegin "fonksiyonm"bardak fonksiyonu "fonksiyonmbardak.m" dosyasına koyulmalıdır. Örnek olarak fonksiyonmbardak.m ve digerfonksiyonum.m dosyalarına bakiniz.

Fonksiyonlar lokal ortamda çalıştırırlar. Yani ana calışma alanındaki aynı isimdeki bir değişkeni kaybetme riskiniz yoktur. Fonksiyonun sonucunda sadece sonuc olarak dönen deüişkenler, çağıran fonksiyonun çalışma alanında görülür.

Örnekleri yapmadan önce aşağıdaki fonksiyonları çalışma dizininize kaydedin.

fonksiyonmbardak.m:

2 girdi argumanı alan ve 2 değer döndüren örnek fonksiyon

function [y, z] = digerfonksiyonum(a, b)
y = a + b;
z = a - b;

Kullanımı :a = [1 2 3 4];
           b = fonksiyonmbardak(2 * a)
           a

 Görüldüğü üzere a değeri değişmedi. Şimdi de iki değişken döndüren örneğimizi çağıralım.

[c, d] = digerfonksiyonum(a, b)

c =

1 5 9 13

d =

1    -1    -3    -5

12.01.2011 //  03:19

LaTeX'te birkaç matematiksel formül tüyosu

LaTeX'te daha güzel formüller elde etmek için birkaç matematik formülü yazma tüyosu :)

1. LaTeX'te denklemlerde toplama, integral, limit gibi sembollerin altına i=1->inf gibi şeyler yazmak istendiğinde altına değil de sağ alt köşeye yazar ya latex onu, tam altına yazdırmak için birkaç yöntem vardır. Birincisi denklemi iki dolar arasına koymak, ama bu denklemi 'inline' olmaktan çıkarır ve ortaya hizalar. İkincisi \displaystyle kullanmak. Şöyle ki; görünümünü düzeltmek istediğimiz toplama işaretlerinin başına \displaystyle yazıyoruz. Aslında her toplama işaretinin başına yazmak gerekli değil, bir kere yazarsak tüm satırdaki toplama işaretlerini düzeltiyor, ama satırın anlamı değişebiliyor. Örneğin, bölme çizgisi kullanılacaksa, \frac{}{} yapısında her parantezin içine \displaystyle yazmak gerekiyor. Ya da array'lerde her satır ve sütun için, yani her & ve \\ işaretinden önce de \displaystyle yazmak gerekiyor. Üçüncü yöntem de \limits kullanmak.
2. Çift ya da üçlü integral yaparken \int\int\int demek yerine \iiint, \int\int demek yerine \iint denildiğinde integraller birbirlerine yapışıyorlar. Özellikle teker teker her integral için limit değerler yazılmayacaksa çok faydalı oluyor. Bunlar, amsmath paketindeler.
3. Büyük bir bölme işlemini, hatta alt alta yazılmış bir array'i parantez içine almak icin \left \right kullanımı parantezlerin boyunu büyütüyor. Örneğin, a = { 0 if a<0, 1 if a>=1 gibi bir şey yazmak istedik. 0 if a<0, 1 if a>=1 ifadesini bir array'e yazarız. Bu array'in başına \left\{ sonuna ise \right. yazarız, yani sağ tarafa parantez koymak istemiyorsak \right'tan sonra nokta koymak gerekir. Böylece parantez tüm array'i kaplar, ortada küçücük kalmaz. 12.01.2011 : 02:15 uyku vakti ...

Mathematica'da Denklem sadeleştirme...

Mathematica'nın el ile çözülemeyecek derecedeki karışık denklemleri çözdüğü tartışılamaz fakat bazen işleri öyle karıştırır ki çok karmaşık matris sistemini bile çözüp bize gösterdiğinde çözümlerin bazen en sade şeklini alabileceği halde sadeleşmiş olarak vermez. bunun için Tam çözüm yada yalın çözüm komutlarını deneyebiliriz ancak ikisini de denediğiniz halde yine de gözle görülebilecek kadar kolay işlemleri yapmadığı zamanlar da olur böyle durumlarda artık denklem sadeleştirmek Mathematica'nın ekstra komutlarını kullanarak sizin marifetlerinize kalmış demektir. Bunun için ben ilk olarak ReplaceAll komutunu öneriyorum sadeleştirmek yerine önce küçük atamalar ya da değişkenler değiştirmeyi deneyebiliriz. genel olarak şöyle kullanılır örneğin:
{x, x^2, y, z}denkleminde x gördüğümüz yere "a" yazdırmak istersek;
denklemin sonundaki parantezden sonra "/. x -> a" komutunu yazmamız yeterlidir. 

yukarıdaki 8x8 lik matrisin ilk elemanı olan a1'de Lamda1^(M/4) yerine K1 yazmak istiyorsam ;
a1 elemanında sonra " /. (Lamda1)^(M/4) -> (K1) " komutunu eklemem yeterli olacaktır. böylece; bir kaç dönüşüm yaparsam;

a1 elemanını K1 ve K2 değişkenleri türünde Mathematica'ya tekrar yazdırmış olurum... Yazımın devamında daha sade ifadeler elde edebilmek için farklı komutları denemeye devam edeceğim...
a1 ve a2 elemanları üzerinde bir kaç dönüşüm yapalım...  

 

gördüğümüz gibi bazı değişkenler çarpıldığında tanımladığım dönüşümler oluşması gerekirken Mathematica bunları otomatik olarak hesaplayıp sunamıyor. tam çözüm yada yalın çözüm seçeneklerini uyguladığımda ise ortak çarpanları bulmasına rağmen düzensiz yerlerdeki işlemleri gerçekleştirmiyor. Bundan sonraki kısımda el ile müdehale şart gibi görünüyor. bakalım işin içinde nasıl çıkacağız ... :S ( 27.10.2010 ; 00:37 )

Sonunda Çözdüm ...

Uzun zamandır üzerinde çalıştığım tez konumda geçen bir 8x8 lik matrisin
en doğru çözümünü bir türlü tutturamıyordum sonunda sakin sakin Mathematica dostumla sorunu çözdüm , basit bir parantez işlemi hayatta ne kadar önemli olabilirdi ki... işte bu kadar. buradan işlem önceliği kuralını göz ardı ederek algoritma yazan ve uzun denklemlerle Matlab, Mathematica vb. programlarla çalışan arkadaşlara sesleniyorum bu hassasiyeti asla unutmayalım. Her ne kadar denklemlerim en yalın halde çıkmış olmasada gecenin bu saati bu sonucu bulduğuma sevindim :))

8.sınıf SBS Matematik Köklü Sayılar TEST

Farktal Kavramı...

Fraktal'ın Kelime Anlamı 

Fraktal parçalanmış ya da kırılmış anlamına gelen Lâtince fractus kelimesinden gelmiştir. İlk olarak 1975'de Polonya asıllı matematikçi Benoit Mandelbrot tarafından ortaya atıldığı varsayılır. Kendi kendini tekrar eden ama sonsuza kadar küçülen sekilleri, kendine benzer bir cisimde cismi oluşturan parçalar ya da bileşenler cismin bütününü inceler. Düzensiz ayrıntılar ya da desenler giderek küçülen ölçeklerde yinelenir ve tümüyle soyut nesnelerde sonsuza kadar sürebilir; tam tersi de her parçanın her bir parçası büyütüldüğünde, gene cismin bütününe benzemesi olayıdır. Doğada görebilen örnekler örneğin bazı bitkilerin yapısı dir.

Fraktal ve Fraktal Geometri nedir?
İlk matematiksel fraktal kavramı 1861 de keşfedildi. Karl Weierstrass sürekli fakat hiçbir noktada

diferensiyellenebilir olmayan , yani köşe noktalarından oluşan bir eğri üzerindeki değişmeleri araştırken, hiçbir noktada değişme oranının bulunamayacağı kanaati ile sarsılmıştır. Fraktal kelimesini Weierstrass bu cins eğriler için ilk defa kullanmıştır.
Matematik anlamda ilk çalışılan fraktal, Cantor Cümlesidir. Cantor (1845-1918) Halle Üniversitesi'ndeyken matematiğin temel konularından olan ve günümüzde Cümle Teorisi olarak adlandırılan alanı kuran bir Alman matematikçidir.
Fraktalların tarihi gelişiminde Cantor, Sierpinski, Von Koch, Peano gibi matematikçiler tarafından oluşturulan fraktallar matematiksel canavarlar olarak adlandırılır. Matematiksel canavarların bahçesinde veya ilk fraktalların ortaya çıktığı zamanlarda Cantor cümlesi görünüş açısından diğerlerinden daha az gösterişli olmasına ve diğerlerine göre doğal yoruma daha uzak olmasına rağmen oldukça önemlidir. Cantor cümlesinin, matematiğin pek çok alanında özelikle Kaotik Dinamik Sistemlerde önemli rol oynadığı ve pek çok fraktallar (Julia cümleleri gibi) için de gerekli bir model olduğu görülmektedir.
Etrafımızda, parlak, tuhaf, güzel şekilli cisimler görürüz. Bunlara Fraktal denir. Gerçekten bunlar nedir?
İnternette fraktallar hakkında çok fazla bilgi vardır, fakat bu bilgilerin büyük kısmı ya güzel resimler veya yüksek seviyeli matematiksel kavramlarla ilgilidir. Dolayısıyla kolayca anlaşılır bir ifade ile diyebiliriz ki fraktallar tuhaf resimleri olan cisimler, matematiksel nesnelerdir. Okulda karşılaştığımız matematiğin çoğu eski bilgilerdir. Örneğin, geometride karşılaştığımız çemberler, dörtgenler ve üçgenler M.Ö. 300 üncü yıllarında Öklid tarafından ortaya konulmuştur. Buna rağmen Fraktal Geometri daha çok yenidir. Fraktallar üzerinde matematikçiler tarafından araştırmalar son 25 yıldır başlamış bulunmaktadır.



Fraktal; matematikte, çogunlukla kendine benzeme özelligi gösteren karmasik geometrik sekillerin ortak adidir. Fraktallar, klasik, yani Eukleidesçi geometrideki kare , daire , küre gibi basit sekillerden çok farklidir. Bunlar, dogadaki, Eukleidesçi geometri araciligiyla tanimlanamayacak pek çok uzamsal açidan düzensiz olguyu ve düzensiz biçimli tanimlama yetenegine sahiptir. Fraktal terimi “parçalanmis” yada “kirilmis” anlamina gelen Latince "fractus" sözcügünden türetilmistir. Ilk olarak 1975’te Polonya asilli matematikçi Beneoit B. Mandelbrot tarafindan ortaya atilan fraktal kavrami, yalnizca matematik degil fiziksel kimya, fizyoloji ve akiskanlar mekanigi gibi degisik alanlar üzerinde önemli etkiler yaratan yeni bir geometri sisteminin dogmasina yol açmistir.
Tüm fraktallar kendine benzer ya da en azindan tümüyle kendine benzer olmamakla birlikte, çogu bu özelligi tasir. Kendine benzer bir cisimde cismi olusturan parçalar ya da bilesenler cismin bütününe benzer. Düzensiz ayrintilar ya da desenler giderek küçülen ölçeklerde yinelenir ve tümüyle soyut nesnelerde sonsuza degin sürebilir; öyle ki,her parçanin her bir parçasi büyütüldügünde, gene cismin bütününe benzer. Bu fraktal olgusu, kar tanesi ve agaç kabugunda kolayca gözlenebilir. Bu tip tüm dogal fraktallar ile matematiksel olarak kendine benzer olan bazilari, stokastik, yani rastgeledir; bu nedenle ancak istatistiksel olarak ölçeklenirler. Fraktal cisimler,düzensiz biçimli olduklarindan ötürü Eukleidesçi sekilleri ötelenme bakisina sahip degildirler. (Ötelenme bakisimina sahip bir cisim kendi çevresinde döndürüldügünde görünümü ayni kalir.)
Fraktallarin bir baska önemli özelligi de, fraktal boyut olarak adlandirilan bir matematiksel parametredir. Bu cisim ne kadar büyütülürse büyütülsün ya da bakis açisi ne kadar degistirilirse degistirilsin, hep ayni kalan fraktallarin bir özelligidir. Eukleidesçi boyutun tersine fraktal boyut, genellikle tam sayi olmayan bir sayiyla, yani bir kesir ile ifade edilir. Fraktal boyut, bir fraktal egri yardimiyla anlasilabilir.
Olusturulmasinin her asamasinda bu tip bir egrinin çevre uzunlugu 4/3 oraninda büyür. Fraktal boyut (D)4'e esit olabilmesi için alinmasi gereken kuvvetini gösterir; yani;
3d =4 bu bakimdan fraktal egriyi niteleyen boyut log4/log3 ya da kabaca 1,26'dir. Fraktal boyut, Eukleidesçi olmayan belirli bir biçimin karmasikligini ve sekil nüanslarini açiga çikarir.
Kendine benzerlik ve tamsayi olmayan boyutlu kavramlariyla birlikte fraktal geometri, istatistiksel mekanikte, özellikle görünürde rastgele özelliklerden olusan fiziksel sistemlerin incelenmesinde giderek daha yaygin olarak kullanilmaya baslanmistir. Örnegin, gökada kümelerinin evrendeki dagiliminin saptanmasinda ve akiskan burgaçlanmalarina iliskin problemlerin çözülmesinde fraktal benzetimlerden (simülasyon) yararlanilmaktadir. Fraktal geometri bilgisayar grafiklerinde de yararli olmaktadir. Fraktal algoritma ise, engebeli daglik araziler ya da agaçlarin karisik dal sistemleri gibi karmasik, çok düzensiz dogal cisimlerin gerçektekine benzer görüntülerinin olusturulabilmesini olanakli kilmistir.

Fraktal Nedir?

Fraktal, matematikci Bénoit Mandelbrot tarafindan bulunan Mandelbrot kumelerinin ozel bir hali olan Julia Egrilerinin turevlerini cizebilir. En iyi bilinen fraktal bir kar tanesine benzeyen Koch Egrisi dir. Bu egriler iki boyutludur. Iki boyutlu cizim kompleks duzlemde yapilir. C1 sayisi kompleks sayinin reel kismini, C2 sayisi imajiner kismini temsil eder.

Fraktal kelimesi matematiksel anlamda kaotik ortamlarin icerdigi bilgi ile aynidir. Kaotik ortamin matematiksel anlami; sayilamaz coklukta duzenli olaydir.