karmaşık sayılar etiketine sahip kayıtlar gösteriliyor. Tüm kayıtları göster
karmaşık sayılar etiketine sahip kayıtlar gösteriliyor. Tüm kayıtları göster

15 Eylül 2013 Pazar

Leonhard Euler 15 Nisan 1707 - 18 Eylül 1783

Leonhard Euler (d. 15 Nisan 1707, Basel, İsviçre - ö. 18 Eylül 1783, St. Petersburg, Rusya), İsviçreli matematikçi ve fizikçi.

18. yüzyıl'ın ın en önemli ve tüm zamanların önde gelen matematikçilerinden biri kabul edilmektedir. En üretken matematikçilerden biri olarak çalışmalarının bütünü 70 cildi aşmaktadır. Euler pek çok yeni kavram geliştirmiş, basit aritmetikten sayılar teorisi ve topolojiye kadar farklı alanlarda uzun süre kabul gören birçok teorem ispatlamıştır. Bu çalışmaları esnasında, günümüzde kullanılan modern matematik terminolojisinin yaratıcısı olmuş fonksiyon kavramı ve onun yazımını tanımlamıştır (yaptığı bu çalışma için verilebilecek örneklerden bazıları trigonometrik fonksiyonlar için yaptığı sin, cos ve tan tanımlamalarıdır). 

Kısaca Hayatı...

Euler'in babası Paul Euler ve annesi Marguerite Brucker'dı. Babası Paul Euler Protestan papazıydı ve oğlunun da kendi yolundan gitmesini istiyordu. Basel doğumlu olmasına rağmen çocukluğunun büyük kısmını babasının Lüteriyen papaz olarak vaaz verdiği komşu şehir Riehen'de geçirdi. Euler çocukluk yılları boyunca gittikçe artan bir ilgiyle matematiğe bağlanmıştı ve bu sırada bir aile dostu olan Johann Bernoulli tarafından eğitiliyordu. Euler babasının isteği üzerine matematik kadar ilginç bulmasa da Basel Üniversitesinde ilahiyat, İbranice ve Yunanca eğitimi aldı. Bu eğitimin sonunda Bernoulli müdahale etmeseydi Euler bir papaz olacaktı. Ama Bernoulli, oğlunun büyük bir matematikçi olabilecek yeteneğe sahip olduğunu söyleyerek baba Paul Euler'i ikna etti. Euler, Basel Üniversitesi'nden 1726 yılında mezun oldu. Eğitimi süresince Varignon, Descartes, Newton, Galileo, van Schooten, Hermann, Taylor, Wallis ve tabii ki Jacob Bernoulli gibi pek çok ünlü matematikçinin yaptığı çalışmalarla ilgilenmiş ve bazılarını yeniden yapılandırmıştı. 1727 yılında Paris Akademisinin düzenlediği ödüllü problem yarışmasına katıldı. O senenin sorusu bir gemi üzerine gemi direklerini yerleştirmenin en iyi yolunun bulunmasıydı. O yıl kazandığı mansiyon sadece 20 yaşında olan biri için oldukça övgüye değerdi.

Euler'e St. Petersburg Akademisinde matematik uygulamaları konusunda eğitim vermesi önerildi. Kasım 1726'da teklifi kabul etmesine rağmen sonraki yaza kadar Rusya'ya gitmedi. Bu süre içersinde Euler Basel Üniversitesine başarısızlıkla sonuçlanan bir başvuruda bulundu. 5 Nisan 1727 tarihinde Basel'i terkederek St. Petersburg' a yerleşti. 1730 yılında fizik profesörü oldu. 1733' te Bernoulli Basel'e döndüğünde Euler matematik kürsüsünde kıdemli akademisyenliğe terfi ettirildi.

Leonhard Euler
7 Ocak 1734 tarihinde Academy Gymnasium' dan bir ressamın kızı olan Katharina Gsell ile evlendi. On üç çocukları oldu ve bunlardan sekiz tanesi çocukluk yıllarında hayatını kaybetti. Euler ikinci evliliğini ilk eşinin üvey kız kardeşi ile yaptı.

Euler 1735 yılında bir takım sağlık problemleri yaşamaya başladı. Humma hastalığına yakalandı ve 1740 yılında sağ gözü görmemeye başladı. Yapılan cerrahi müdahale ile geçici olarak iyileşse de yeniden görme kaybı yaşamaya başladı. 1771 yılında yapılan yeni bir cerrahi müdahele öteki gözünü de kaybetmesine neden oldu.

Rusya' da devam eden karışıklıklardan dolayı St. Petersburg' u terk edip etmemekte kararsız kaldı. Frederick the Great of Prussia Berlin Akedemisi Euler'e çalışma teklifinde bulundu ve Euler de bunu olumlu yönde değerlendirdi. 19 Haziran 1741'de Euler tekrar döneceği St. Petersburg'dan ayrıldı. 380'den fazla makale yazdığı Berlin'de 25 yıl kaldıktan sonra hayatının kalanını sürdüreceği St. Petersburg'a geri döndü. 18 Eylül 1783' de geçirdiği beyin kanaması sonucu öldü. Marquis de Condorcet tarafından Fransız Akademisi için ağıtı yazıldı. Hayatı ve yaptığı çalışmaları anlatan bir diğeri ise St. Petersburg İmparatorluk Akademisi sekreteri ve aynı zamanda damadı olan von Fuss tarafından yazıldı. Matematikçi ve filozof Marquis de Condorcet şöyle demektedir;

"...il cessa de calculer et de vivre,"(..hesaplamaya ve yaşamaya son verdi...)

14 Mart 2011 Pazartesi

Matlab'da Kompleks Sayılar

Herkese Merhabalar,
  Şimdi diyeceksiniz ki ne gerek var böyle şeylere, ancak demeyin öyle! İlerleyen zamanlarda göreceğimiz teorileri anlayabilmek ve simule edebilmek için kompleks sayılar ve matrisleri kısaca hatırlayacağız. Bu yazımda kompleks sayılar ve Matlab da ilgili fonksiyonlar üzerinde duracağım. Matrisler ise bir sonraki konu...

   Hepimizin bildiği gibi matematikte i karakteri kök içinde -1 e eşittir. Ancak bu yazımda  i yerine daha çok j yi kullanacağım. Aslında bu j başka bir değerle çarpıldığında (vektörle çarpıldığında) saat yönünün tersinde 90 derece dönmesine sebep olur. Aşağıdaki şekil üzerinden anlamaya çalışalım. 



Şekilde görüldüğü gibi A vektörü x ekseninin pozitif kısmında bulunmaktadır. A vektörünü her j ile çarpışımızda saat yönünün tersinde 90 derece dönmektedir. Hatırlayacağınız gibi x eksenine reel kısım, y eksenine ise imajiner kısım diyoruz. Bu durumda eğer A=a+jb şeklinde bir vektörümüz olursa a=Re{A} ve b=Im{A} olacaktır. Kompleks sayılar üzerinde toplama ve çıkarma yaparken reel kısımlar ve imajiner kısımlar birbirleriyle toplanır veya çıkarılır, yani reel kısımlarla imajiner kısımlar arasında işlem yapılmaz. Aşağıdaki şekilde bu durum gösterilmiştir.

Kompleks sayılar çarpılırken ise dağılma özelliği esas alınır.

Bir kompleks sayının hatırlayacağınız üzere birde eşleniği bulunmaktadır.
a
+jb şeklinde bir kompleks sayının eşleniği
a-jb şeklindedir. Matlabda eşlenik almak için conj() fonksiyonunu kullanırız.
 Eşleniği alınan bir kompleks sayının reel kısmının yönü sabit kalıp, imajiner kısmı 180 derece ters döner. Kompleks sayılar için bölme işleminde ise paydada ki kompleks değerin eşleniği alınır ve hem pay hemde payda bu değer ile çarpılır. A=a+jb kompleks sayısını, B=c+jd sayısına bölme işlemi aşağıda ki gibidir.


Şimdi gelelim kompleks sayıların üstsel(eksponansiyel) ve polar formda gösterimlerine. Aşağıdaki şekilde ki gösterime hatırlayacağınız gibi Euler açılımı diyoruz. 

 Eğer bu kompleks sayıları C ile gösterdiğimiz bir sabitle çarparsak şu şekli alır;

Yukarıda ki eşitlik bir kompleks sayıyı temsil etsin ve bu sayıya a+jb diyelim. Bu durumda

 şeklinde olacaktır. Bu durumda a = Ccosθ ve b = Csinθ olacaktır. Reel ve imajiner kısımdaki sayıların karelerini alır ve toplarsak


bu kompleks sayının genliğini bulmuş oluruz. b yi a ya oranladığımızda ise  


kompleks sayımızın açısını elde ederiz. Sonuç olarak diktörtgensel formdan üstsel forma geçiş için;


üstsel formdan dikdörtgensel forma geçmek için;


eşitliklerini kullanırız. Polar formda gösterim biçimi ise;
şeklindedir. Ayrıca unutulmaması gereken bir nokta ise açıyı hesaplarken her zaman pozitif x eksenini referans olarak alırız. 
   
Şimdi bir örnekle bu öğrendiklerimizi Matlab da nasıl uygulayabiliriz onu anlamaya çalışalım. y=-1+j2 kompleks sayısını reel ve imajiner eksende ifade edersek aşağıdaki şekilde ki gibi bir sonuç elde ederiz.
Burada kök 5 değeri y vektörünün genlik değerini gösterirken 116.6 derece ise x ekseninin pozitif kısmı referans alınması durumunda açısını gösterir.  Matlab da bir komplek sayının genliğini bulmak için abs() açısını bulmak için angle() fonksiyonunu kullanırız. Burada unutulmaması gereken Matlab ın angle() fonksiyonu ile hesapladığı değer derece değil radyan cinsindendir. Dolayısıyla sonucu derece cinsinden görmek için angle(y)*180/pi şeklinde kullanmalıdır. Aşağıda Matlab örneği gösterilmiştir.

Video Haber