29 Ekim 2020 Perşembe

Geniş Küme Nedir ?

 
Matematikte iyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme adı verilir ve iyi tanımlanmış bir nesneyi sembol olarak bir venn şemasında gösterebileceğimiz gibi bu nesneler eğer sayılamayacak kadar çoklar ise ortak özellikleri ile belirleyebiliriz. Örneğin 13 ten küçük doğal sayılar kümesinden bahsediyorsak , Bu kümeyi A ile gösterdiğimizde elemanları , 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 dir. Doğal olarak bir küme içerisinde görebiliriz.  A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} şeklinde listeleme yaparak yazabiliriz. Peki bu küme sizce yeteri kadar geniş midir? Genişlik kavramı matematikte genellikle bir fonksiyonun tanım kümesini yorumlamak için kullanılır. En geniş tanım kümesi demek, verilen aralıkta fonsiyonun özelliklerinin sağlanmadığı koşulların ( noktaların ) ya da kümelerdeki karşılığı olan elemanların çıkartılmasıyla geriye kalan elemanların belirlediği kümeye denir. 
 
Peki En geniş değil de sadece "Geniş küme" denildiğinde tanım nasıl değişiyor görelim. Bunun için yukarıda yazdığım A kümesini ele alalım, A kümesinin elemanlarından "0" ı atalım. Geriye kalan elemanlara dikkat edelim, bunların hepsi birer pozitif tam sayıdır. A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} bu kümenin geniş olup olmadığına şöyle bakılır;

1. Küme pozitif tamsayılardan oluşmuş mudur ?
2. Eleman sayısı S(A) = n ise n -1 sayısı kümenin elemanı mıdır ?
3. Bu kümenin en küçük elemanı k ise k+1 = n midir ? 
 
Bu üç sorunun cevabı evet ise A kümesine Geniştir yorumu yapılır. O halde ,
 
Geniş kümenin tanımı :
 
"Her elemanı bir pozitif tam sayı olan bir kümenin eleman sayısı, bu kümenin en küçük elemanının sayısal değerinden 1 fazla ise bu kümeye Geniş Küme denir. "
 
şeklindedir. Bir kaç basşt örnekle gösterelim, 

Örneğin ; 
               A= {2,4,6} kümesi verilsin , 
               bu kümenin en küçük elemanı tabii ki 
               2 < 4 < 6 olduğundan "2 "dir.  Bu kümenin eleman sayısı S(A) = 3 = 2+1 olup, Kümedeki en küçük elemanın değerinden "1" fazladır. O halde A kümesi bir geniş kümedir. 

Diğer taraftan  B= {4,8,10,12,15} , C={ x |  8  <  x  <  19 , x bir tam sayı } kümeleri de birer geniş kümedir. Siz de benzer örnekler oluşturup yazdığınız kümenin bir geniş küme olup olmadığını bu şekilde kontrol edebilirsiniz. He bir de aklıma takılan sorulardan biri Karmaşık sayılar kümesi üzerinde bir geniş küme bulunabilir midir ? Bunun cevabını da bir başka yazımda konuşalım... Mutlu günler. 
 
Uzm. Matematik Öğretmeni 
Mustafa BARDAK 

10 Ekim 2020 Cumartesi

Sayıların Gizli Hayatları

 Sayıların hayatları var mıdır ? Evet bu soru sanki matematiğin temelini oluşturan sembollerin ki onlara rakam diyoruz. Yanyana geldiklerinde belirttikleri sayıların birer hayatları olup olmadığını bize sorgulatıyor. Bana kalırsa, alışıla gelmiş bazı rakamların ya da sayıların genellenerek kullanıldığı zaman hiç de tesadüfen verilmiş değerler olmadığı bir gerçek. 

Ne demek istiyorum ? Mesela bir futbol takım neden 11 kişiden oluşuyor ? Neden cennet 7 kattır deniyor. burada 11 sayısının ve 7 nin seçilmiş olması tıpkı insan hayatı gibi bir kader midir ? O zaman sayıların da mı bir kaderi var... Garip şeyler değil mi : ) Böyle şeyleri tek merak edip araştıran tek insan kesinlikle ben ( Mustafa BARDAK ) değilim. Dilerseniz sizlere geçmiş yıllarda merakla okuduğum bir kitptan, sayıların hayatları ile ilgili küçük bir hikaye paylaşıyım; Lütfen eliştirmeden ya da yine mi matematik ve sayı demeden sabırla okuyunuz. 

KALECİLER NEDEN "1" NUMRALI FORMA GİYER ?

Uluslararsı Futbol Tarihi ve İstatistik Federasyonu'nun kayıtlarına göre 1911'de Sidney'de oynanan yerel bir Avusturalya Futbol maçında çığır açan bir yenilik gerçekleştirilmişti. 1911 yılında futbol dünyasında sansasyon yaratan bu değişim neydi ? Oyuncuların dizlerini gözler önüne seren cüretkar şortlar mıydı ? Belki de kafa attığınızda boynunuu kırmayan yeni bir top? Hayır, günümüzde her maçta olması gereken bir şeydi: Forma numaraları! Buradaki Sayıların amacı basitbir şekilde futbolcuları birbiriden ayırmak ve böylece hayranların ve gazetecilerin hangi futbolcunun ne yaptığını anlamasını sağlamaktı. Tıpki pozitif doğal sayılar kümesini, matematikte ( ki 10.sınıf öğrencilerime bundan sıkça bahsederim) eşleme yöntemi ile sayma prensibi gibi... Nesneleri anlamlandırmak için kullanılması gibi. 

Bu karardan 5 yıl sonra , 29 Nisan 1933'te Futbol Birliği Kupası Finalinde ilk kez sırt numaraları kullanılmıştı, ancak sistem bugünkünden biraz farklıydı. Everton oyuncuları 1'den 11'e kadar olan sayıları kullanırken Manchester City ise 12'den 22'e kadar olan sayıları kullanıyordu. 

1939'da Futbol Ligi tüm takımların 1 ile 11 arasındaki sayılrı kullanmasına ve her sayının belli bir pozisyona ait olmasına karar verdi. Ancak ikinci Dünya Savaşı'nın çıkması futbol sezonunu neredeyse tıpkı bugünlerde pandemi ve Covid-19 salgını nedeniyle sektörün sekteye uğraması gibi işleri durma noktasına getirdiği için bu kadar uzun süre devam etmedi. 

Sırt Numara Sistemi ve "1" 'in kaderi 

Sırt numaralandırma sistemini anlamak biraz güç olabilir. Örneğin altında yatan bir neden olmamasına rağmen 5 numara genellikle savunmanın ortasında yer almaktadır. Sanki bir zarın 5 numaralı yüzündeki ortada kalan 1 nokta gibi. Beş ortayı temsil etmektedir. 5 'in kaderi ortada durmak gibi bir şey : ) çoğu durumda olduğu gibi, bu düzensizliğin nedeni sayısal evrimde gizli...

1960' lara kadar , futbol takımları 2-3-5 düzeninde oynuyordu. Maç programlarında ki hiç sevmem bir ara Rıdvan Dilmen'in saçları yüzünden bir türlü ısınamadığım eleştiri, yorum programlarında maç öncesi verilen röportajlarda bu düzenden bahsedildiğinde, 1 numaralı kalecinin en üstte olduğu bir yılbaşı ağacı benzetmesi yapılıyordu ve sayılar kaleciden sonra soldan sağa doğru ilerleyerek sol kanatta 11'e kadar gidiyordu. 

Elbette bu düzen zaman geçtikçe büyük değişikliklere uğradı; bunlardan birisi de 5 numara olan orta saha oyuncusunun orta sahanın, yani 2 ve 3 numaranın, gerisine çekilmesi ile doğan karışıklıktı. Evet bu matematiksel olarak sıralamayı bozar ! : ) Bu düzen 1 in kaderini belirlemiş ve kalecinin "1" rakamı ile neden ifade edildiğini anlamlandırmıştır. Ziraa futbolcularını kaybeden bir koç onları kulbelerine girerken kuzu gibi saymak için bu numaraları vermiş olamaz değil mi : ) 

Evet bu minik örnek sayıların gerçekte kendi hayatlarının da olduğunu biraz ikna olmamıza sebep oluyor. Bunun gibi kaderi ve kendi hayatı olan bir çok sayı örneği vardır. Mesela 13 sayısı neden uğursuz olabilir ki ? Dilerseniz bunlara başka blog yazılarımda paylaşıyım. Sevgiler Mustafa BARDAK.

6 Ekim 2020 Salı

Bir Otostopçunun Gözünden 42 Sayısı

 42 Sayısı, bilim kurgucuların ve Matematik meraklılarının dikkatini nasıl çekiyor ? Herkes çözülmemiş gizemleri sever. Mesela, uzayda hayat varmı ? varsa kimler yaşıyor sorusunun gizemini koruması onun merak edilmesini ve keşfedilmeye değer bir olgu olması bu bilgiye ulaşmanın bedelini artırır. Antartika kıtasının sırrı gibi meseleler de çözülmemiş problemler kadar ilgi duyulan bir şeydir. Kısaca herkes gizimli şeyleri sever.   

Üstelik gizem bir şakaya dayansa bile ilgimiz devam eder. Tam da bu konuda ; Yazar Douglas Adams’ın 1979 tarihli popüler bilim kurgu romanı Bir Otostopçunun Galaksi Rehberi, beşli dizinin ilki. Kitabının sonlarına doğru, süper bilgisayar Deep Thought, "Yaşam, Evren ve Her Şey" in "Büyük Sorusu" nun yanıtının "kırk iki" (42) olduğunu ortaya koyuyor. 

Derin Düşünce'nin nihai sorunun cevabını hesaplaması 7,5 milyon yıl alıyor. Bu cevabı almakla görevlendirilen karakterler hayal kırıklığına uğruyor çünkü çok kullanışlı değil. Yine de, bilgisayarın işaret ettiği gibi, sorunun kendisi belli belirsiz formüle edilmiş.  

Cevabı 42 olan sorgunun doğru ifadesini bulmak için bilgisayarın kendisinin yeni bir versiyonunu oluşturması gerekecekti. Bu da zaman alacaktır. Bilgisayarın yeni sürümü Earth'tır. Yani Yer yüzü, hayat, dünya ya da yaşamın ta kendisi ne derseniz deyin... Daha sonra ne olacağını öğrenmek için Adams'ın kitaplarını okumalısınız. Peki Adams kitabında 42 Numarasını neden bir gizemli sayı olarak ortaya atıyor dersiniz? Bana kalırsa, Yazarın 42 sayısını seçmesi, inek kültürünün bir parçası haline gelmiş. Bu, inisiyeler arasında değiş tokuş edilen çok sayıda şakanın ve göz kırpmanın kökenindedir. Örneğin, arama motorunuza "Her şeyin cevabı nedir?" Sorusunun varyasyonlarını sorarsanız büyük ihtimalle "42" şeklinde yanıt verecektir. Fransızca veya Almanca olarak deneyin. Google, Qwant, Wolfram Alpha (matematik problemlerinin hesaplanmasında uzmanlaşmış) veya sohbet botu Web uygulaması Cleverbot'u kullanıyor olsanız da, genellikle aynı cevabı alırsınız.

 Ben sizin için bir kaç deneme yaptım ; ) işte bir örnek ;


Adams bu durumu kitabında şöyle özetliyor ;
"Hayat, evren ve her şeye dair nihai sorunun cevabı, Douglas Adams seven biri için tek bir sayıdan ibarettir: ona göre
 

Hayat, evren ve her şeye dair nihai sorunun cevabı, Douglas Adams seven biri için bir çift sayıdan ibarettir: 42. Otostopçunun Galaksi Rehberi serisinde “Derin Düşünce” isimli bilgisayarın yedi buçuk milyon yıl boyunca aradığı, açıkladığı zaman da galakside yaşayan herhangi bir canlıya beğendiremediği cevap 42’dir

Meraklılar için, siz de Bu kitabı okuyup 42 sayısının gizemini kavrayabilirsiniz. Mutlu günler .

 

2 Ekim 2020 Cuma

Matematik ve Sosyal Adaletsizlik Üzerine

Matematik öğrenmenin de bir Adaleti var, Son günlerde eğitim sisteminin uzaktan derslerle ne kadar sağlıklı ilerlediğini düşünürsek, Matematik eğitiminin de toplumları ve sosyal ilişkileri baştan aşağı değiştirdiğini söyleyebiliriz. Öğrencilerin bu sıkıcı olarak gördükleri dersi öğrenmekte yaşadıkları adaletsizikler de gözden kaçmamalı...

Neredeyse her okulda tipik bir günde tipik bir matematik dersine girdiğinizde, öğrencilerin çoğunun sıkıldığını ve dikkatinin dağıldığını fark edeceksiniz. Matematik üzerine okuduğum bir makalenin sahibi olan RadicalMath'in kurucusu Jonathan Osler bunun bir sosyal adalet sorunu olduğuna inanıyor. 

"Matematik dersleri, öğrencilere kendi gerçekliklerini daha iyi anlamaları için araçlar sağlamalıdır. Topluluğunuza toplu taşıma ile yeterince hizmet verilmediğinde, 'A Treninin B treninden x + 4 kat daha hızlı gitmesi' kimin umurunda?" Geleneksel matematik müfredatı, öğrencilere banka veznedarlarının yoğunluğunu düşük gelirli topluluklardaki bankalarla nasıl karşılaştıracaklarını, hangisinin en uygun oranları sunduğunu belirlemek için üniversite kredi planlarını nasıl değerlendireceklerini veya toplumlarda diyabet ve astım ki buna artık Covid-19 vaka sayısı da dahil, vaka oranlarına ilişkin verileri nasıl analiz edeceklerini öğretmez.  Tüm bu konuları ele almaya yönelik ders planları, ekonomik ve sosyal adalet konularını matematik derslerine entegre etmek isteyen eğitimciler için ücretsiz bir web sitesi olan RadicalMath.org'da  bu konuda yeni adımlar atmış bir siteye rastladım. Brooklyn, New York'ta altı yıl boyunca bir devlet lisesinde öğretmenlik yapan ve şu anda matematik öğretmenlerine koçluk yapan RadicalMath kurucusu Jonathan Osler, "Öğrencileri yaşamları ve topluluklarıyla ilgili konular hakkında bilgi edinmeye teşvik etmeye ve onları güçlendirmeye inanıyorum" diyor. Los Angeles'ta bir devlet lisesi. "Ancak sosyal adalet konularını matematik derslerime nasıl entegre edebileceğime dair hiçbir bilgi kaynağı yoktu, bu yüzden kendi müfredatımı yazmaya ve çevrimiçi yayınlamaya başladım." diyor, İki yıl sonra, RadicalMath 800'den fazla ders planı, veri seti ve makale ürettiğini, 1.000.000'den fazla sayfa görüntüleme aldığını ve dünyanın her yerinden ziyaretçi çektiğini söylüyor. Peki biz Türk toplumlarımız ve Ülkemiz için Matematik eğitimi adına neler yaptık? Bakın, Osler, öğrencilerin matematik temelli üniversite ana dalları ve kariyerler için hazırlanmış güçlü matematik becerileriyle liseden mezun olmasının çok önemli olduğunu açıklıyor. Ancak, ülkemizin en acil sorunlarının üstesinden gelmek için gençlerin yaşamlarında ve toplumlarında değişim için aracı olmaları gerektiğine ve matematiğin bunu yapmalarına yardımcı olabilecek bir araç olduğuna inancı da aynı derecede güçlüdür. 

RadicalMath.org, ırksal profil oluşturma, göçmenlik, küresel ısınma ve ceza adaleti sistemi dahil düzinelerce konu hakkında bilgi sunuyor, olay sadece matematik değil, Matematiğin alanlarla ilişkileri olarak da düşünülmüş. Ayrıca asgari yaşama ücreti, yıkıcı borç verme, piyangonun matematiği ve ev sahipliği gibi ekonomik konularda çok sayıda finansal eğitim kaynağı ve ders planı var. 

Geçen Nisan ayında Osler, diğer RadicalMath katılımcılarıyla birlikte sosyal adalet merceğiyle matematik öğretimini tartışmak için ulusal bir konferans düzenlemiş, Bu konferanslar üniversite yıllarımda katıldığım ama bana bir şey katamayan akademik bilişimleri ve Ulusal Matematik sempozyumlarını hatırlattı, Neyse... Bu ilk geleneksel "Adaletsiz Bir Dünyada Denge Yaratmak" konferansı, ülkenin dört bir yanından 500'den fazla eğitimci, aktivist, ebeveyn ve öğrenciyi Brooklyn, NY'ye çekmiş. Osler ve diğer organizatörler bu yılki konferansa iki kat daha fazla katılımcı çekmeyi bekliyorlarmış... Bu yazıyı niye okudum niye yazdım ve neden paylaşıyorum bende bilmiyorum ama Matematik öğrenimi ve Eğitimindeki sosyal adaletsizlik beni giderek ürkütüyor... Aynı okulda farklı iki sınıfın aynı matematik müfredatını dinlemelerine rağmen neden bir kaçının daha kaliteli ilerleme kaydettiğini anlamanın başka bir yolu yoktur diye düşünüyorum. Umarım daha kaliteli bir Matematik öğrenimi için bir gün eğitimciler olarak geç olmadan bizler de yenilikçi çözümler üretebiliriz. Teşekkürler Osler ve diğerleri. 

Uzm. Mustafa BARDAK

Video Haber