29 Ekim 2020 Perşembe

Geniş Küme Nedir ?

 
Matematikte iyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme adı verilir ve iyi tanımlanmış bir nesneyi sembol olarak bir venn şemasında gösterebileceğimiz gibi bu nesneler eğer sayılamayacak kadar çoklar ise ortak özellikleri ile belirleyebiliriz. Örneğin 13 ten küçük doğal sayılar kümesinden bahsediyorsak , Bu kümeyi A ile gösterdiğimizde elemanları , 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 dir. Doğal olarak bir küme içerisinde görebiliriz.  A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} şeklinde listeleme yaparak yazabiliriz. Peki bu küme sizce yeteri kadar geniş midir? Genişlik kavramı matematikte genellikle bir fonksiyonun tanım kümesini yorumlamak için kullanılır. En geniş tanım kümesi demek, verilen aralıkta fonsiyonun özelliklerinin sağlanmadığı koşulların ( noktaların ) ya da kümelerdeki karşılığı olan elemanların çıkartılmasıyla geriye kalan elemanların belirlediği kümeye denir. 
 
Peki En geniş değil de sadece "Geniş küme" denildiğinde tanım nasıl değişiyor görelim. Bunun için yukarıda yazdığım A kümesini ele alalım, A kümesinin elemanlarından "0" ı atalım. Geriye kalan elemanlara dikkat edelim, bunların hepsi birer pozitif tam sayıdır. A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} bu kümenin geniş olup olmadığına şöyle bakılır;

1. Küme pozitif tamsayılardan oluşmuş mudur ?
2. Eleman sayısı S(A) = n ise n -1 sayısı kümenin elemanı mıdır ?
3. Bu kümenin en küçük elemanı k ise k+1 = n midir ? 
 
Bu üç sorunun cevabı evet ise A kümesine Geniştir yorumu yapılır. O halde ,
 
Geniş kümenin tanımı :
 
"Her elemanı bir pozitif tam sayı olan bir kümenin eleman sayısı, bu kümenin en küçük elemanının sayısal değerinden 1 fazla ise bu kümeye Geniş Küme denir. "
 
şeklindedir. Bir kaç basşt örnekle gösterelim, 

Örneğin ; 
               A= {2,4,6} kümesi verilsin , 
               bu kümenin en küçük elemanı tabii ki 
               2 < 4 < 6 olduğundan "2 "dir.  Bu kümenin eleman sayısı S(A) = 3 = 2+1 olup, Kümedeki en küçük elemanın değerinden "1" fazladır. O halde A kümesi bir geniş kümedir. 

Diğer taraftan  B= {4,8,10,12,15} , C={ x |  8  <  x  <  19 , x bir tam sayı } kümeleri de birer geniş kümedir. Siz de benzer örnekler oluşturup yazdığınız kümenin bir geniş küme olup olmadığını bu şekilde kontrol edebilirsiniz. He bir de aklıma takılan sorulardan biri Karmaşık sayılar kümesi üzerinde bir geniş küme bulunabilir midir ? Bunun cevabını da bir başka yazımda konuşalım... Mutlu günler. 
 
Uzm. Matematik Öğretmeni 
Mustafa BARDAK 

Hiç yorum yok :